[Kalkulus] Makalah Persamaan Diferensial Elementer

PENDAHULUAN

1.1.Latar Belakang

Matematika dikenal sebagai ilmu dasar. Pembelajaran matematika akan melatih kemampuan berpikir kritis, logis, analitis, dan sistematis. Tetapi peran matematika tidak hanya sebatas hal tersebut. Perkembangan bidang ilmu lain, seperti fisika, biologi, ekonomi ataupun berbagai bidang ilmu sosial, tidak terlepas dari peran matematika. Matematika juga sangat pantas disebut sebagai jembatan ilmu pengetahuan dan teknologi. Sebagai contoh, kemajuan teknologi luar angkasa yang sangat pesat di jaman sekarang karena kemajuan bidang ilmu fisika. Tetapi kemajuan ilmu fisika itu sendiri tidak akan tercapai tanpa peran matematika dan perkembangan matematika itu sendiri.

Kalkulus adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.

Dalam kalkulus ada dua cabang utama, yaitu Kalkulus Intergral dan kalkulus Diferensial. Dalam dunia perkuliahan kalkulus bisa disebut sebagai analisis matematika. Persamaan Diferensial Elementer membahas mengenai bagaimana persamaan diferensial digunakan atau dimanfaatkan dalam memecahkan suatu masalah dalam kehidupan sehari-hari.

Contoh kasus yang sering dijumpai seperti pada gaya pegas. Gaya pegas sangat dibutuhkan untuk kegiatan-kegiatan dalam bidang pembangunan maupun bidang teknik. Persamaan diferensial dari gaya pegas ini kemudian dijadikan sebuah persamaan matematika dalam bentuk simbol dan rumus sehingga perhitungan dari gaya pegas ini menjadi lebih mudah dan cepat. Pada bagian inilah persamaan diferensial elementer sangat berperan dalam mengubah suatu persamaan persamaan diferensial dan menyelesaikannya ke dalam bentuk persamaan linear atau yang lebih dikenal adalah persamaan tersebut menjadi sebuah rumus. Oleh karena itu, persamaan diferensial yang termasuk dalam ilmu matematika ini menjadi sangat penting untuk dipelajari tidak hanya dalam ilmu matematika saja tetapi juga dalam ilmu-ilmu yang lain.

1.2.  Rumusan Masalah

Permasalahan-permasalahan timbul adalah sebagai berikut :
1 .Apa hubungan antara ilmu komputer dan diferensial ?
2. Mengapa diferensial dapat berhubungan dengan ilmu komputer ?
3. Bagaimana penerapan diferensial pada ilmu komputer ?

1.3. Tujuan Penulisan Makalah

Untuk mengetahui apa dan bagaimana kalkulus dapat berhubungan dengan ilmu komputer, pada makalah ini lebih dispesifikan kalkulus dalam hal diferensial atau diferensial elementer.

1.4. Manfaat Penulisan Makalah

Makalah ini diharapkan dapat member manfaat bagi pembaca sebagai suatu referensi untuk mengertahui hubungan antara diferensial dan ilmu komputer.

HASIL DAN PEMBAHASAN

                Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan-turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui, yang disebut dengan f(x).  Persamaan diferensial muncul dalam berbagai bidang sains dan teknologi, bilamana hubungan deterministik yang melibatkan besaran yang berubah secara kontinu atau dimodelkan oleh fungsi matematika dan laju perubahan dinyatakan sebagai turunan diketahui atau dipostulatkan. Ini terlihat misalnya pada mekanika klasik, dimana gerakan sebuah benda diperikan oleh posisi dan kecepatannya terhadap waktu. Hukum Newton memungkinkan untuk mengetahui hubungan posisi, kecepatan, percepatan dan berbagai gaya yang bertindak terhadap benda tersebut dan menyatakan sebagai persamaan diferensial posisi sebagai fungsi waktu. Dalam banyak kasus, persamaan diferensial ini dapat dipecahkan secara eksplisit, dan menghasilkan hukum gerak.
Diferensial atau sering disebut turunan dapat dihitung dengan memakai uraian deret Taylor.

Persamaan diferensial memainkan peran penting dalam aplikasi matematika pada bidang teknik, fisika, ekonomi, dan disiplin lainnya.Persamaan diferensial kerap muncul dalam banyak bidang ilmu pengetahuan dan teknologi, khususnya setiap kali terdapat hubungan deterministik yang melibatkan beberapa elemen yang terus menerus bervariasi (dapat dibuat model matematika dengan menggunakan fungsi) dan tingkat perubahan elemen-elemen tersebut dalam ruang dan / atau waktu (dinyatakan sebagai turunan) . 

Teori persamaan diferensial sudah cukup berkembang, dan metode yang digunakan bervariasi sesuai jenis persamaan. Persamaan diferensial biasa (PDB) adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari variabel bebas tunggal. Dalam bentuk paling sederhana fungsi yang tidak diketahui ini adalah fungsi riil atau fungsi kompleks, namun secara umum bisa juga berupa fungsi vektor maupun matriks. Lebih jauh lagi, persamaan diferensial biasa digolongkan berdasarkan orde tertinggi dari turunan terhadap variabel terikat yang muncul dalam persamaan tersebut.

Persamaan diferensial sendiri dapat dibagi: 

1. Menurut jenis atau tipe : yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. 

2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi turunan fungsi yang ada dalam persamaan. d3y/dx3 adalah orde tiga d2y/dx2 adalah orde dua dy/dx adalah orde satu.

3.    Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi. Sebagai contoh : ( d3y/dx3)2 + ( d2y / dx2)5 + y/x2+1 = ex adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua. 

Persamaan diferensial juga memegang peranan penting dalam rekayasa, fisika, ilmu ekonomi dan berbagai macam disiplin ilmu. Teori persamaan diferensial sudah cukup berkembang, dan metode yang digunakan bervariasi sesuai jenis persamaan. Persamaan diferensial terbagi menjadi dua yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Persamaan diferensial biasa (PDB) adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari variabel bebas tunggal. Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi dari banyak variabel bebas, dan persamaan tersebut juga melibatkan turunan parsial.Didalam persamaan diferensial biasa, dipelajari tentang konsep persamaan diferensial linear dan Persamaan diferensial linear orde satu.  Persamaan diferensial linear adalah persamaan yang mengandung turunan tingkat satu yaitu turunan dengan satu peubah bebas. Sedangkan Persamaan diferensial linear orde satu adalah persamaan yang mengandung turunan tingkat satu dimana turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan tersebut adalah satu.

Awal mula komputer yang sebenarnya dibentuk oleh seorang profesor matematika Inggris,Charles Babbage (1791-1871). Tahun 1812,Babbage memperhatikan kesesuaian alam antara mesin mekanik dan matematika yaitu mesin mekanik sangat baik dalam mengerjakan tugas yang sama berulangkali tanpa kesalahan,sedang matematika membutuhkan repetisi sederhana dari suatu langkah-langkah tertentu.Masalah tersebut kemudain berkembang hingga menempatkan mesin mekanik sebagai alat untuk menjawab kebutuhan mekanik.Usaha Babbage yang pertama untuk menjawab masalah ini muncul pada tahun 1822 ketika ia mengusulkan suatu mesin untuk melakukanperhitungan persamaan Differensial. Mesin tersebut dinamakan Mesin Differensial.Dengan menggunakan tenaga uap,mesin tersebut dapat menyimpan program dan dapat melakukan kalkulasi serta mencetak hasilnya secara otomatis.

Setelah bekerja dengan Mesin Differensial selama sepuluh tahun,Babbage tiba-tiba terinspirasi untuk memulai membuat komputer general-purpose yang pertama,yang disebut Analytical Engine.Asisten Babbage,Augusta Ada King (1815-1842) memiliki peran penting dalam pembuatan mesin ini.Ia membantu merevisi rencana,mencari pendanaan dari pemerintah Inggris,dan mengkomunikasikan spesifikasi Analytical Engine kepada publik.Selain itu,pemahaman Augusta yang baik tentang mesin ini memungkinkannya membuat instruksi untuk dimasukkan ke dalam mesin dan juga membuatnya menjadi programmer wanita yang pertama.Pada tahun 1980,Departemen Pertahanan Amerika Serikat menamakan sebuah bahasa pemrograman dengan nama ADA sebagai penghormatan kepadanya.

Mesin uap Babbage,walaupun tidak pernah selesai dikerjakan,tampak sangat primitif apabila dibandingkan dengan standar masa kini.Bagaimanapun juga,alat tersebut menggambarkan elemen dasar dari sebuah komputer modern dan juga mengungkapkan sebuah konsep penting.Terdiri dari sekitar 50.000 komponen,disain dasar dari Analytical Engine menggunakan kartu-kartu perforasi (berlubang-lubang) yang berisi instruksi operasi bagi mesin tersebut.

Pada Tahun 1889,Herman Hollerith (1860-1929) juga menerapkan prinsip kartu perforasi untuk melakukan penghitungan.Tugas pertamanya adalah menemukan cara yang lebih cepat untuk melakukan perhitungan bagi Biro Sensus Amerika Serikat.Sensus sebelumnya yang dilakukan di tahun 1880 membutuhkan waktu tujuh tahun untuk menyelesaikan perhitungan.
Hollerith menggunakan kartu perforasi untuk memasukkan data sensus yang kemudian diolah oleh alat tersebut secara mekanik.Sebuah kartu dapat menyimpan hingga 80 variabel.Dengan menggunakan alat tersebut,hasil sensus dapat diselesaikan dalam waktu enam minggu.Selain memiliki keuntungan dalam bidang kecepatan,kartu tersebut berfungsi sebagai media penyimpan data.Tingkat kesalahan perhitungan juga dapat ditekan secara drastis.Hollerith kemudian mengembangkan alat tersebut dan menjualnya ke masyarakat luas.Ia mendirikan Tabulating Machine Company pada tahun 1896 yang kemudian menjadi International Business Machine (1924) setelah mengalami beberapa kali merger.Perusahaan lain seperti Remington Rand and Burroghs juga memproduksi alat pembaca kartu perforasi untuk usaha bisnis.Kartu perforasi digunakan oleh kalangan bisnis dan pemerintahan untuk permrosesan data hingga tahun 1960.                         

Pada masa berikutnya,beberapa Insinyur membuat penemuan baru lainnya.Vannevar Bush (1890-1974) membuat sebuah kalkulator untuk menyelesaikan persamaan differensial di tahun 1931.Mesin tersebut dapat menyelesaikan persamaan differensial kompleks yang selama ini dianggap rumit oleh kalangan akademisi.Mesin tersebut sangat besar dan berat karena ratusan gerigi dan poros yang dibutuhkan untuk melakukan perhitungan.Pada tahun 1903,John V. Atanasoff dan Clifford Berry mencoba membuat komputer elektrik yang menerapkan aljabar Boolean pada sirkuit elektrik.Pendekatan ini didasarkan pada hasil kerja George Boole (1815-1864) berupa sistem biner aljabar,yang menyatakan bahwa setiap persamaan matematik dapat dinyatakan sebagai benar atau salah.Dengan mengaplikasikan kondisi benar-salah ke dalam sirkuit listrik dalam bentuk terhubung-terputus,Atanasoff dan Berry membuat komputer elektrik pertama di tahun 1940.Namun proyek mereka terhenti karena kehilangan sumber pendanaan.

               

DAFTAR PUSTAKA

Tipler. 1991. Fisika untuk Sains dan Teknik Jilid I (terjemahan). Jakarta: Erlangga

Widagda, IGA. S.Si. MKom. 2006. Fisika Komputasi. Denpasar: Universitas Udayana Fakultas MIPA Jurusan Fisika.

Hardhika,Dhika (2012). Penerapan Diferensial pada Pemrograman [online].

Tersedia : http://dhikahardhika-ciwa.blogspot.com/2012/11/penerapan-diferensial-pada-pemrograman.html

Blog Student UNY (2011) . Keterkaitan antara Matematika dengan TIK [online].

Tersedia : http://blog.student.uny.ac.id/reni/2011/02/22/keterkaitan-antara-matematika-dengan-tik/

Ismail, Dadan (2012). Contoh Penerapan Diferensial pada Pemrograman Komputer [online].

Tersedia : http://dadanbageur1.blogspot.com/

Priambada, Bestama Abhi (2011). Kalkulus 1 – Preview [online].

Tersedia : http://besta-besta14.blogspot.com/2011/09/kalkulus-1-preview.html

Iswanto, Dwi (2009) Peran Matematika Dalam Ilmu Komputer  [online].

Tersedia :http://blog.math.uny.ac.id/dwiiswano/tik/peran-matematika-dalam-ilmu-komputer/

Wahyuni, Tri (2009) Peranan Matematika Dalam Perkembangan TIK [online].

Tersedia : http://blog.math.uny.ac.id/triwahyuni/2009/peranan-matematika-dalam-perkembangan -tik