Makalah Aturan Kalimat dalam Logika Matematika [Logika Informatika]

ATURAN KALIMAT DALAM LOGIKA INFORMATIKA

MAKALAH

Disusun untuk memenuhi salah satu tugas

Mata kuliah Logika Informatika

Disusun oleh :

Medy Heliansyah (1206013

Nurhayati (1206001)

Odhid Pratama (1205998)

Raka Dwi Aprian (1205990)

Sulastri Oktaviani (1205995)

PROGRAM STUDI ILMU KOMPUTER

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN

ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

BANDUNG

2013

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rezeki, rahmat, dan karunia-Nya. Sholawat serta salam tidak lupa kita junjungkan kepada Rasulullah Muhammad SAW, sebagai tauladan umat manusia hingga akhir jaman.

Terima kasih juga kami ucapkan juga kepada

1. Bapak Drs. Eka Fitrajaya Rahman, M.T. selaku Dosen pembimbing dalam mata kuliah Logika Informatika.

2. Orang tua penulis yang tidak henti-hentinya memberikan dukungan serta doanya.

3. Dan, semua pihak yang terlibat dalam proses pembuatan makalah ini hingga bisa terselesaikan.

Sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ini yang berjudul “Aturan Kalimat dalam Logika Informatika”.

Penulis menyadari bahwa makalah ini masih banyak memiliki kekurangan. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun demi kesempurnaan makalah ini. Semoga tulisan ini dapat memberi manfaat bagi perkembangan ilmu pengetahuan serta sumbangan ilmu yang sebesar-besarnya terhadap penulis dan pembaca.

Bandung, 31Juli 2013

Penulis

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL.............................................................................. i

HALAMAN KATA PENGANTAR...................................................... ii
HALAMAN DAFTAR ISI.................................................................... iii

PEMBAHASAN

1. Defenisi Kalimat......................................................................... 1

2. Interpretasi.................................................................................. 5

3. Perluasan Interpretasi.................................................................. 7

4. Aturan Sematik........................................................................... 8

DAFTAR PUSTAKA............................................................................. 11

PEMBAHASAN

A. Defenisi Kalimat

Kalimat adalah kumpulan kata yang disusun menurut aturan tata bahasa dan mengandung arti. Dalam ilmu matematika, bahasa komunikasinya disebut dengan kalimat matematika yaitu kalimat yang menggunakan lambing-lambang matematika. Kalimat dibedakan menjadi 2 yaitu :

a. Kalimat Berarti

Yaitu kalimat yang didalamnya dapat ditarik suatu pengertian yang masuk akal (logis) dan memiliki arti dalam pikiran. Contoh :

1. Matahari terbenam dari arah barat.

2. Ular adalah hewan melata.

b. Kalimat Tak Berarti

Yaitu kalimat yang tidak bisa diterima oleh akal sehat (tidak logis). Contoh :

1. Sapi menari tidur minum.

2. 8 + 9 matahari tersenyum bangun.

Kalimat berarti dibagi menjadi dibedakan menjadi dua bagian, yaitu : Kalimat Pernyataan dan Kalimat bukan Pernyataan.

a. Kalimat Pernyataan

Adalah kalimat yang validasi nilai kebenarannya sudah dapat dibuktikan yaitu bernilai benar atau bernilai salah. Kalimat pernyataan dapat disebut juga dengan kalimat deklaratif ataupun statemen.

Contoh :

1. Palembang Ibukota provinsi Sumatera Selatan (Benar)

2. 4 – 5 = 3 (salah)

b. Kalimat bukan Pernyataan

Adalah kalimat yang validasi nilai kebenarannya belum dapat dibuktikan. Jenis dari kalimat ini adalah kalimat perintah, kalimat terbuka, dan kalimat pertanyaan. Contoh :

1. 5 x 2x = 19 (kalimat terbuka)

2. Cepatlah, nanti kamu terlambat..!! (kalimat perintah)

3. Sejak kapan kamu suka makan apel ? (kalimat Pertanyaan)

Ada beberapa aturan kalimat dalam logika proposional yang dibangun dari proposisi-proposisi dengan menggunakan “Ikatan Proposisi” antara lain :

“NOT, AND, OR, IF-THEN, IF-AND-ONLY, IF-THEN-ELSE”

Aturan pembentukan kalimat proposisional yaitu :

1. Setiap proposisi adalah kalimat (Sentence)

2. Apabila X adalah sudatu kalimat maka demikian juga negasinya (NOT X)

3. Apabila X dan Y adalah suatu kalimat maka demikian juga konjungsinya yaitu ( X AND Y ).

4. Apabila X dan Y adalah suatu kalimat maka demikian juga disjungsinya yaitu ( X OR Y ).

5. Apabila X dan Y adalah kalimat maka demikian juga implikasinya yaitu ( IF X THEN Y ). Selanjutnya X disebut “antecendent” dan Y disebut “consequent” dari IF X THEN, kalimat IF Y THEN P disebut “konvers” dari IF X THEN Y; IF NOT X THEN NOT Y disebut “invers” dari IF THEN Y, dan IF NOT Y THEN NOT X disebut “kontraposisi” dari IF X THEN Y.

6. Apabila X dan Y adalah kalimat maka demikian juga dengan ekuivalensinya (equivalence), yaitu : ( X IF AND ONLY IF Y )

7. Apabila X, Y dan Z adalah suatu kalimat demikian juga dengan kondisionalnya, yaitu : ( IF X THEN Y ELSE Z).

Negasi (not -)
Aturan negasi membalik nilai kebenaran dari suatu pernyataan. Misalnya
- X = true ; not X = false
- Y = false ; not Y = true
Konjungsi (- and -)
Merupakan hubungan dimana setiap nilai pernyataan harus benar baru kalimat tersebut dinyatakan benar.

X	Y	X and Y
true	true	True
true	false	False
false	true	False
false	false	False

Disjungsi (- or -)
Merupakan aturan dimana bila salah satu pernyataan benar maka kalimat tersebut juga benar.

X	Y	X or Y
true	true	True
true	false	True
false	true	True
false	false	false

Implikasi (if – then -)
Aturan dimana setiap pernyataan anteseden benar harus memiliki konsekuen benar baru kalimat itu dinyatakan benar, dan bila anteseden salah maka kalimat itu benar untuk setiap keadaan konsekuen.

X	Y	if X then Y
true	true	True
true	false	False
false	true	True
false	false	True

Equivalensi (if – and only if -)
Aturan equivalensi bernilai benar bila pernyataan antesenden tepat sama nilai kebenarannya dengan konsekuennya.

X	Y	If X and only if Y
true	true	True
true	false	False
false	true	False
false	false	True

Kondisional (if – then – else -)
Aturan kondisional memiliki dua konsekuen. Mirip dengan implikasi bila antesenden bernilai benar maka aturan implikasi dengan konsekuen pertama yang menentukan nilai kebenaran kalimat, sebaliknya bila antesenden bernilai salah maka aturan implikasi negasi antesenden dengan konsekuen kedua yang menentukan nilai kebenaran kalimat.

X	Y	Z	if X then Y else Z
true	true	true	True
true	true	false	True
true	false	true	False
true	false	false	False
false	true	true	True
false	true	false	False
false	false	true	True
false	false	false	False

B. Interpretasi Kalimat

Interprestasi adalah pemberian (assignment) nilai kebenaran (true atau false) pada setiap simbol proposisi dari suatu kalimat logika. Sebagai contoh, perhatikan kalimat :

NOT X OR Y

Salah satu interprestasi untuk kalimat di atas memberi nilai false ke X dan nilai true ke Y. interprestasi terhadap nilai X dan Y dapat ditulis:

X ß FALSE

Y ß TRUE

Semua kemunculan dari suatu simbol proposisional dalam kalimat logika akan diberi nilai sama oleh suatu interprestasi yang diberikan, sebagai contoh kalimat:

NOT X AND (NOT Y) OR X

Dua kemunculan X masing-masing akan diberi nilai sama. Demikian juga kemunculan terhadap proposisi Y.

Interpretasi pada logika proposisi adalah pemberian nilai kebenaran pada semua variabel yang meliputi :
- Untuk setiap konstanta a dalam himpunan, elemen
- Untuk setiap variabel x dalam himpunan, elemen x 1
- Untuk setiap simbol fungsi f dengan jumlah parameter n dalam himpunan, fungsi f1(d1, d2, ... dn); fungsi f1 didefinisikan dengan argument d1, d2, .... dn dalam D, dan nilainya f1(d1, d2,.... dn dalam D)
- Untuk setiap simbol predikat p dengan jumlah parameter n dalam himpunan, relasi pi(d1, d2, .... dn); relasi pi didefinisikan dengan argumen d1, d2, .... dn dalam D dan pi(d1, d2, .... dn) dan dapat bernilai benar atau salah.

Untuk suatu ekspresi E dalam predikat logika, suatu interpretasi I dikatakan interpretasi jika I memberikan nilai untuk setiap symbol bebas dari E, yaitu untuk setiap konstanta, fungsi dan simbol predikat dan setiap variabel bebas pada E :
Contoh :

Diberikan kalimat :

E : IF P (x, f(x)) THEN (for some y) p(a,y)

Catatan bahwa E memiliki variable bebas.

I adalah interpretasi untuk E pada domain bilangan real, dimana :

a = akar 2

x = pi

f adalah fungsi “bagi dengan 2” (yaitu fi (d) = d/2)

p adalah relasi “lebih besar atau sama dengan” (yaitu pi (d1,d2) adalah d1>=d2)

Maka kalimat tersebut dengan interpretasi I berarti :

IF pi > = pi/2

THEN bilangan real d

Sehingga akar 2 >= d

Catatan bahwa interpretasi tidak memberikan nilai untuk variable y, dimana y variable terikat tetapi tidak bebas dalam E.

C. Perluasan Interpretasi

Diberikan Interpretasi II pada domain D.

Untuk suatu variable x dan elemen domain D, perluasan interpretasi.

< x ← d > o I

I adalah interpretasi pada D dimana :

a. Variabel x diberi elemen domain d

b. Setiap variable y diberi elemen domain yI, dengan nilai I. (Jika y tidak

mempunyai nilai pada I, maka tak ada nilai pada < x ← d > o I ).

Untuk konstanta a ( atau symbol fungsi f atau symbol predikat p, dan seterusnya ) dan untuk suatu elemen domain d (atau fungsi k atau relasi r pada D ), perluasan interpretasi adalah :

< x ← d > o I

Catatan :

Interpretasi I (bukan perluasan interpretasi, disebut juga interpretasi murni) dapat mempunyai beberapa nilai untuk symbol x (atau a,f atau p).

D. Aturan Sematik

Adalah suatu aturan yang digunakan untuk menentukan “truth value” dari suatu sentence, yaitu :

1. Negation Rule(Aturan NOT)

X	*NOT* X
True	False
False	True

2. Conjunction Rule(Aturan AND)

X	Y	*X AND Y*
True	True	True
True	False	False
False	True	False
False	False	False

3. Disjunction Rule(Aturan OR)

X	Y	*X OR Y*
True	True	True
True	False	True
False	True	True
False	False	False

Sifat-sifat aljabar logika untuk konjungsi dan disjungsi

a. Hukum Idempoten

pvp = p

pLp = p

b. Hukum Komutatif

pvq = qvp

pLq = qLp

c. Hukum Assosiatif

(pvq)v r = pv(qvr)

(pLq) Lr = pL(qLr)

d. Hukum Distributif

pv(qLr) = (pvq) L (pvr)

pL(qvr) = (pLq) v (pLr)

e. Hukum Identitas

pv False = p

pLTrue = p

pv True = True

pL False = False

f. Hukum Komplemen

pv not p = True

pLnot p = False

not (not p) = p

g. Hukum De Morgan

Negasi dari konjungsi dan disjungsi:

not (pvq) = not p L not q

not (pLq) = not p v not q

4. Implication Rule (Aturan IF-THEN)

Implikasi bernilai “salah” bila anteseden benar dan konsekuen salah.

X	Y	IF X THEN Y
True	True	True
True	False	False
False	True	True
False	False	True

Jika (XàY) adalah implikasi, maka :

(XàY) adalah konvers

(not Xànot Y) adalah invers

(not Yànot X) adalah kontraposisi

Jika (XàY) bernilai benar, maka:

belum tentu (Y à X), (not X à not Y),

(not Y à not X) bernilai benar.

5. Equivalence Rule(Aturan IF -AND ONLY IF -)

Biimplikasi bernilai “benar”, jika penyusun proposisi bernilai sama

X	Y	*X IF AND ONLY IF Y*
True	True	True
True	False	False
False	True	False
False	False	True

6. Conditional Rule(Aturan IF–THEN-ELSE)

Jika X bernilai benar maka Y berlaku

Jika X bernilai salah maka Z berlaku

X	Y	Z	*IF X THEN Y ELSE Z*
True	True	True	True
True	True	False	True
True	False	True	False
True	False	False	False
False	True	True	True
False	True	False	False
False	False	True	True
False	False	False	False